Dinámica en algebroides de Lie, Diana Sosa Martín (Universidad de La Laguna) [Notas en PDF]

El objetivo de este seminario es introducir el concepto de algebroide de Lie y presentar una descripción geométrica tanto del formalismo Lagrangiano como del formalismo Hamiltoniano en algebroides de Lie. El interés de las estructuras de algebroides de Lie radica en que unifican los fibrados tangentes y las álgebras de
Lie y que, desde el punto de vista físico, pueden utilizarse para dar una descripción geométrica de la mecánica Lagrangiana y Hamiltoniana.

Bibliografía
[1] A. Weinstein: Lagrangian mechanics and groupoids, Fields Inst. Commun. 7 (1996), 207–231.
[2] P. Libermann: Lie algebroids and mechanics, Arch. Math. (Brno) 32 (1996), 147–162.
[3] E. Martínez: Geometric formulation of mechanics on Lie algebroids, Proceedings of the 8th Fall Workshop on Geometry and Physics (Medina del Campo, 1999) vol 2 (Publicaciones de la RSME) 209–222.
[4] M. de León, J.C. Marrero and E. Martínez: Lagrangian submanifolds and dynamics on Lie algebroids, J. Phys. A.: Math. Gen. 38 (2005), R241–R308.

Integral estocástica y procesos sobre variedades: Ecuaciones de Hamilton estocásticas, Joan Andreu Lázaro Camí (Universidad de Zaragoza)

En esta charla se pretende repasar los conceptos de integral estocástica de Itô y Stratonovich de un proceso respecto a una semimartingala. Vamos a extender luego esta integral al caso en que los procesos tomen valores en una variedad diferenciable, introduciendo la integración de uno formas a lo largo de procesos con valores en una variedad. Esta noción nos va a permitir definir ecuaciones diferenciales estocásticas sobre una variedad de una forma intrínseca. Como aplicación, vamos a presentar unas ecuaciones de Hamilton que generalizan de manera natural las de la mecánica clásica.

Bibliografía
Para un repaso de conceptos de probabilidad general (y no tan general) está muy bien, por ejemplo:
- G. R. Grimmet, D. R. Stirzaker. Probability and Random Processes. Second edition. Oxford University Press, 1992.

Para familiarizarse con la integral estocástica recomiendo, en este orden:
- B. Oksendal. Stochastic Differential Equations. Fifth edition. Springer-Verlag.
- K. L. Chung, R. J. Williams. Introduction to stochastic integration. Birkhauser, 1990.

Finalmente, para aprender sobre geometría diferencial estocástica, es decir, para tratar procesos con valores en una variedad, están muy bien los siguientes:
- M. Emery. Stochastic Calculus in Manifolds. Universitext (Springer-Verlag). 1989.
- P. A. Meyer. Géométrie Stochastique sans larmes, I. Séminaire de Probabilités (Strasbourg), tome 15 (1981), p. 44-102. Disponible en
http : //www.numdam.org/item?id = SPS 1981 15 44 0

Campos de vectores completamente integrables en R^n : algunos aspectos geométricos y topológicos, Daniel Peralta Salas (Universidad Complutense) [Notas en PDF]

El objetivo del curso es introducir algunas de las herramientas más importantes que se usan para estudiar campos de vectores con un número maximal de integrales primeras, por ejemplo el teorema de Phillips-Gromov y la construcción de normalizadores. Por su interés en las aplicaciones estudiaremos especialmente los conjuntos de órbitas periódicas. El esquema del curso es el siguiente:
1. Definiciones básicas y algunos ejemplos.
2. Órbitas periódicas: existencia y regiones que llenan.
3. Separatrices
4. Función período.
5. Algunas generalizaciones: embeddings completamente integrables.

Parte de los resultados que mencionaremos han sido obtenidos por el ponente en colaboración con Gilbert Hector (Instituto de Matemáticas Camille Jordan, Universidad de Lyon I). En particular generalizaremos resultados de Smith (Bull. Amer. Math. Soc. 74 (1968) 233), Costa y colaboradores (Invent. Math. 93 (1988) 545), Miyoshi (Topology 34 (1995) 383), Freire y colaboradores (J. Differential Equations 204 (2004) 139) y Sabatini (Proc. Amer. Math. Soc. 134 (2005) 531).

Mecánica de Continuos, Cédric M. Campos (Consejo Superior de Investigaciones Científicas)
Cinemática
• Cuerpos y configuraciones
• Descripción referencial y espacial
• El gradiente de deformación y asociados
• El gradiente de velocidad y asociados
Principios de equilibrio
• Ecuación de transporte
• Ley de conservación de la masa
• Momento y fuerza
• Ecuación de movimiento
• Ley de conservación de la energía

Referencias
[1] P. Chadwick, Continuum mechanics, second ed., Dover Publications Inc., Mineola, NY, 1999, Concise theory and problems.
[2] Jerrold E. Marsden and Thomas J. R. Hughes, Mathematical foundations of elasticity, Dover Publications Inc., New York, 1994, Corrected reprint of the 1983 original.
[3] Cliÿord Ambrose Truesdell, A first course in rational continuum mechanics. Vol. 1, Academic Press, New York, 1977, General concepts, Pure and Applied Mathematics.

Aplicaciones de Sistemas de Lie en Teoría de Control y Mecánica Clásica Javier de Lucas Araujo (Universidad de Zaragoza)
Basado en trabajos de J. F. Cariñena y Arturo Ramos [Notas en PDF]

En este curso se analizan las principales propiedades de los sistemas de Lie y varios métodos de cálculo de soluciones exactas: Wei-Norman, Reducción, Sistemas de Lie con iguales álgebras de Lie asociadas. Posteriormente se aplican estos conocimientos en diversos casos concretos de Teoría de Control y Mecánica Clásica.

References
[1] S. Lie, Vorlesungen über continuierliche Gruppen mit Geometrischen und anderen Anwendungen, Edited and revised by G. Scheffers, Teubner, Leipzig, 1893.
[2] J. F. Cariñena and A. Ramos, Applications of Lie systems in Quantum Mechanics and Control theory. ArXiv: math-ph 0305021 v1, (2003).
[3] P. Winternitz, Lie groups and solutions of nonlinear differential equations, in: Nonlinear Phenomena, K.B. Wolf Ed., Lecture Notes in Physics 189, Springer-Verlag, N.Y., 1983
[4] J.F. Cariñena, J. Grabowski and G. Marmo, Lie–Scheffers systems: a geometric approach, Bibliopolis, Napoli, 2000.
[5] J.F. Cariñena, G. Marmo and J. Nasarre, The nonlinear superposition principle and the Wei–Norman method, Int. J. Mod. Phys. A 13, 3601–27 (1998).
[6] J.F. Cariñena, J. Grabowski and A. Ramos, Reduction of time-dependent systems admitting a superposition principle, Acta Appl. Math. 66, 67–87 (2001).

Teoría Geométrica de Control Óptimo Marina Delgado Téllez/Thalia Rodríguez de la Peña (Universidad Carlos III de Madrid) [Notas en PDF]

1. Teoría Geométrica de Control Óptimo I
Conceptos básicos. El Principio de Máximo de Pontryagin. Ejemplos
Resumen: Definiciones básicas y fundamentos de la teoríaa geométrica de control óptimo.Principio de Máximo de Pontryagin. Ejemplos geométricos.
Palabras clave: Teoría de control óptimo, Principio del Máximo de Pontryagin, Teoría de grupos.

Referencias:
[Ag04] Agrachev, A. A. and Sachkov, Y. Control Theory from the Geometric View-point,volume 87 of Encyclopedia of Mathematical Sciences, Springer-Verlag,New York-Heidelberg-Berlin, (2004).
[Bu04] Bullo, F. and Lewis, A. D. Geometric Control of Mechanical Systems: Model-ing,Analysis, and Design for Simple Mechanical Systems, number 49 in Textsin Applied Mathematics, Springer-Verlag, New York-Heidelberg-Berlin, (2004).
[De04] M. Delgado-Téllez. Métodos geométricos en problemas de control ´ optimos singulares:fundamentos y aplicaciones. Ph. D. dissertation, Univ. Carlos III de Madrid, (2004).
[Po86] Pontryagin, L. S., Boltyanskii, V. G., Gamkrelidze, R. V., and Mishchenko, E.F., The Mathematical Theory of Optimal Processes, Classics of Soviet Mathematics, Gordon & Breach Science Publishers, New York, reprint of 1962 translation from the Russian by K. N. Trirogoff, (1986).
[Sp98] Spindler, K. Optimal Control on Lie Groups with Applications to Attitude Control. Mathematics of Control, Signals, and Systems, (1998).
[Sp02] Spindler, K. Motion Planning Via Optimal Control Theory. Proceedings of theAmerican Control Conference, (2002).

2. Teoría Geométrica de Control Optimo II Dinámica en grupos. Sistemas de Lie-Scheffers-Brockett
Resumen:En [Bl00] se propuso que tanto las ecuaciones de Euler para un cuerpo rígido 3D como para uidos incompresibles podían ser vistas como problemas en teoría de control óptimo, donde tal aproximación proporcionaba representaciones alternativas para estos sistemas, como son la representación simétrica y la de impulso respectivamente.
Mostraremos la idea geométrica subyacente de estos ejemplos, demostrando que corre-sponden a casos particulares de una correspondencia general entre una clase de problemas de control óptimo, los llamados sistemas de control óptimo de Lie-Scheffers-Brockett y los sistemas Lagrangianos con simetría.Construiremos una familia de ecuaciones, similares a las del cuerpo rígido, que resultande aplicar estas ideas al grupo de Lie SO(3).
Palabras clave: Teoría de control, Principio del Máximo de Pontryagin, Variables de Clebsch, Teoría de grupos, ecuaciones de Euler.

Referencias:
[Bl00] A. A. Bloch, P. E. Crouch, D. D. Holm, J.E. Marsden. An optimal control formulation for inviscid incdompressible uid ow. Proc. CDC, 39, 1273-79 (2000).
[Bl02] A.A. Bloch, P.E. Crouch, J.E. Marsden, T. Ratiu. The symmetric representation of the rigid body equations and their discretization. Nonlinearity, 15, 1309-1341 (2002).
[Ce87a] H. Cendra and J.E. Marsden. Lin Constraints, Clebsch potentials and varia-tonal principles, Physica D, 27, 63–89 (1987).
[Ce87b] H. Cendra, J.E. Marsden, A. Ibort. Variational principles on fiber bundles: a geometric theory of Clebsch potentials and Lin constraints, J. Geom. Phys. 4, 183–206 (1987).
[De06] H. Cendra, M. Delgado, A. Ibort, T. Rodríguez de la Peña, Optimal Control Realizations of Lagrangian Systems with Symmetry. Preprint (2006).