Reducción de Lagrange-Poincaré, Sebastián J. Ferraro (Universidad Nacional del Sur, Argentina)

En este minicurso estudiaremos la teoría de reducción de Lagrange-Poincaré para sistemas Lagrangianos. Si el espacio de configuración del sistema mecánico es un fibrado principal Q con grupo de simetría G (un grupo de Lie), y L:TQ-->R es G-invariante, el principio variacional que da lugar a las ecuaciones de movimiento se puede llevar al cociente (TQ)/G. A su vez, utilizando una conexión principal en Q, se puede identificar (TQ)/G=T(Q/G)+g, lo que proporciona una descomposición en vectores horizontales y verticales (aquí g es el fibrado adjunto, que definiremos en el curso). Estudiaremos cómo es el principio variacional reducido en términos de esta descomposición, utilizando herramientas como las derivadas covariantes o la 2-forma de curvatura, y veremos cómo son las ecuaciones resultantes. Finalmente, veremos cómo aplicar estas ideas a la reducción de sistemas noholónomos (Lagrange-d'Alembert-Poincaré).

Integrabilidad en sistemas de Lie, Javier de Lucas Araújo (Universidad de Zaragoza)

En este minicurso analizamos como se puede utilizar la teoría de los sistemas de Lie con objeto de analizar la integrabilidad de dichos sistemas de ecuaciones diferenciales. Como aplicación, se mostrará como puede ser utilizado dicho formalismo en diversas ecuaciones diferenciales con interés en Física y Matemáticas.

Coordenadas acción-ángulo y aplicaciones, Eva Miranda (Universidad Autónoma de Barcelona)

El movimiento de los planetas, el sonido de un reloj que oscila...muchos fenómenos de la naturaleza son periódicos o casi-periódicos.. Mineur (astrónomo), observó que el hecho de que el movimiento de los planetas fuera en órbitas elípticas tenia que ver con la existencia de un número suficiente integrales del sistema. Un sistema Hamiltoniano en una variedad simpléctica se dice que es completamente integrable si existen tantas integrales primeras genéricamente independientes como la mitad de la dimensión de la variedad. En su trabajo en 1936, Mineur explicitó fórmulas para determinar las coordenadas acción-ángulo. En dichas coordenadas, el sistema Hamiltoniano queda determinado por movimientos (casi)periódicos en toros (de Liouville) y la forma simpléctica queda en forma de Darboux. Posteriormente la demostración fue formalizada por Arnold.

En este minicurso presentaremos diversos aspectos de las coordenadas acción ángulo regulares y singulares. También pretendemos presentar aplicaciones de la existencia de coordenadas acción-ángulo al cálculo de entropía topológica (trabajo conjunto con Jean-Pierre Marco) y a la cuantización geométrica (trabajo conjunto con Victor Guillemin y Marc Hamilton).

Primera Sesión- Sistemas completamente integrables. Existencia de coordenadas acción-ángulo en variedades simplécticas. Obstrucciones para la existencia global. Caso de variedades de Poisson.

Segunda Sesión- Coordenadas acción ángulo singulares.

Tercera Sesión- Aplicaciones: Entropía topológica. Cuantización geométrica.

Referencias:
1- V. I. Arnold, Mathematical methods of classical mechanics, Springer Graduate texts in mathematics,, Second edition, Springer-Verlag, New York.
2- J.J Duistermaat, On global action-angle coordinates, Communications on pure and applied mathematics, 23, (1980), 687-706.
3- H. Eliasson, Normal forms for Hamiltonian systems with Poisson commuting integrals—elliptic case, Comment. Math. Helv. 65 (1990), no. 1, 4–35.
4- H. Eliasson, Hamiltonian systems with Poisson Commuting integrals, Thesis, (1984), Stokholm.
5- C. Laurent-Gengoux, E. Miranda and Pol Vanhaecke, Action-angle coordinates on Poisson manifolds, preprint 2007.

Técnicas de promedio para detectar órbitas periódicas de campos de vectores, Daniel Peralta Salas (Universidad Carlos III de Madrid)

Uno de los problemas más importantes de la teoría de sistemas dinámicos es la existencia y localización de soluciones periódicas. El objetivo de este curso es introducir una posible herramienta para estudiar este problema, la técnica del promedio, que se aplica a campos de vectores que son pequeñas perturbaciones de campos integrables.

Veremos que esta técnica está relacionada con la aplicación de monodromía y que permite reducir el problema al estudio de puntos críticos de ciertos campos. Como ilustración de estos resultados probaremos un teorema de Weinstein sobre familias de órbitas periódicas de sistemas hamiltonianos y explicaremos el método de la integral Abeliana en el problema 16 de Hilbert débil.

Equilibrios relativos en sistemas Hamiltonianos, Miguel Rodríguez Olmos (EPFL, Lausanne) [Notas en PDF]

Contenidos:
Hora 1
- equilibrios relativos de campos vectoriales
- sistemas Hamiltonianos simétricos
- reducción simpléctica y de Poisson
- equilibrios relativos en sistemas Hamiltonianos: caracterización
- ejemplos

Hora 2
- estabilidad Lyapunov, estabilidad orbital y estabilidad modulo un subgrupo
- interpretacion dinámica de la estabilidad en un espacio re- ducido
- el slice simpléctico
- el método de Energía-Momento
- ejemplos

Formalismo k-simpléctico y k-cosimpléctico en Teoría Clásica de Campos, Silvia Vilariño (Universidade de Santiago de Compostela)

Los formalismos k-simpléctico y k-cosimpléctico son los en-tornos geométricos más simples en los que describir teorías de campos. El objetivo de este seminario es introducir estos formalismos, los cuales son una generalización a Teorías Clá- sicas de Campos de Primer Orden del formalismo simpléctico de la mecánica autónoma y del formalismo cosimpléctico de la mecánica no autónoma. Una de las ventajas de estos formalismos es que, para desarrollarlos, sólo se necesita los fibrados tangente y cotangente de una variedad.

Referencias
[1] C. Gunther, The polysymplectic Hamiltonian formalism in field theory and calculus of variations I: The local case", J. Diff. Geom. 25, 23-53 (1987).
[2] M. de León; Eugenio Merino, José A. Oubiña, Paulo Rodrigues, Modesto Salgado. Hamiltonian systems on k-cosymplectic manifolds". J. Math. Phys. 39 (1998), no. 2, 876-893.
[3] M. de León; Eugenio Merino, Modesto Salgado. k-cosymplectic manifolds and Lagrangian field theories". J. Math. Phys. 42 (2001), no. 5, 2092-2104.
[4] Manuel de León, Michael Mclean, Larry K. Norris, Angel M. Rey , Modesto Salgado. Geometric Structures in Field Theory". Preprint. math-ph/0208036
[5] F. Munteanu, A. M. Rey, M. Salgado, The Gunther's formalism in classical field theory: momentum map and reduction", J. Math. Phys. bf 45(5) (2004) 1730-1751.
[6] Narciso Román-Roy, Angel M. Rey, Modesto Salgado, Silvia Vilariño: On the k-Symplectic, k-Cosymplectic and Multisymplectic Formalisms of Classical Field Theories", arXiv:0705.4364v1 [math-ph], (2007)

El heavy top. Dinámica en afgebroides de Lie, Diana Sosa (Universidad de La Laguna)

En este seminario se pretenden alcanzar dos objetivos:

1. Recordar la descripción geométrica del formalismo Lagrangiano y del formalismo Hamiltoniano en algebroides de Lie presentando un ejemplo particular: el heavy top.

2. Introducir el concepto de afgebroide de Lie y desarrollar una descripción geométrica tanto del formalismo Lagrangiano como del formalismo Hamiltoniano en afgebroides de Lie. La noción de afgebroide de Lie nace como una generalización de la noción de algebroide de Lie para fibrados afines con el propósito de encontrar un modelo geométrico que permitiera obtener las ecuacio-nes de Euler-Lagrange(Hamilton) dependientes del tiempo sobre algebroides de Lie.

Referencias
1. A. Weinstein: Lagrangian mechanics and groupoids, Fields Inst. Commun. 7 (1996), 207–231.
2. E. Martínez: Geometric formulation of mechanics on Lie algebroids, Proceedings of the 8th Fall Workshop on Geometry and Physics (Medina del Campo, 1999) vol 2 (Publicaciones de la RSME) 209–222.
3. M. de León, J.C. Marrero and E. Martínez: Lagrangian submanifolds and dynamics on Lie algebroids, J. Phys. A.: Math. Gen. 38 (2005), R241–R308.
4. J. Grabowski, K. Grabowska, P. Urbanski: Lie brackets on affine bundles, Ann. Glob. Anal. Geom., 24 (2003), 101-130.
5. E. Martínez, T. Mestdag, W. Sarlet: Lie algebroid structures and Lagrangian systems on affine bundles, J. Geom. and Phys., 44 (2002), 70-95.
6. E. Martínez: Lie algebroids, Some Generalizations and Applications, Proceedings of the XI Fall Workshop on Geometry and Physics (Oviedo, 2002). Publicaciones de la RSME, vol. 6, 103-117.